<div dir="ltr"><div>I believe you can expand your argument for Dt to Dp.</div><div><br></div>Suppose Dp(r)=Dpt(r) does not hold for all r.<div>So there exist some rows r such that Dp(r) < Dpt(r).</div><div>Let us take the row from this set such with the shortest link method.</div><div>Call this row R and we have that Dp(R) < Dpt(R) and for all r such that that is true, Dp(R) <= Dp(r)</div><div><br></div><div>If we prick out Dp(R) we will find some row k which appears twice.</div><div>So in the place notation for Dp(R) we will have a piece of notation X such that for a row l, X(l) = k</div><div>In addition we will have another piece of place notation Y and another row m such that Y(k) = m</div><div><br></div><div>From the definition of Dp(R), the concatenation of X and Y must create a long place, else we would just omit the intervening rows.</div><div>However I claim that for any X.Y creating long places we can devise a 3 change, true method section accomplishing the same result.</div><div><br></div><div>This method section will be shorter than the false section leading from k to k, since there must be at least two changes between the ks, eg l,k,*,*,k,m</div><div>as opposed to l,*,*m.</div><div><br></div><div>This is a contradiction, so Dp(r) = Dpt(r) for all r.</div><div><br></div><div>The tricky part is rigorously showing how to do your trick of getting from 34.14 to 12X14 for all concatenations of place notation.</div><div>If one of the changes has bells making places in adjacent pairs then we can replace that change with the 'opposite' change, then the cross change, eg 36.56 becomes 36.1234X.</div><div>If both the place are split, then it seems that you can rewrite the changes to be on a smaller sets of bells, eg 16.36 becomes 14X1256.</div><div>I can't get my brain to think about the equivalent scenarios for odd numbered bell methods at this time of night, but I think that it works.</div><div><br></div><div>Best,</div><div>Ed</div><div><br></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Fri, Apr 3, 2020 at 10:23 PM Alexander E Holroyd <<a href="mailto:holroyd@math.ubc.ca">holroyd@math.ubc.ca</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left:1px solid rgb(204,204,204);padding-left:1ex">Let r be a row, and consider possible sequences of non-jump changes that <br>
get from rounds to r.  Let D(r) be the minimum possible length of such a <br>
sequence.  So for example,<br>
D(1234)=0<br>
D(2314)=2  (the unique minimum length sequence is 34.14)<br>
D(4321)=4  (one minimum sequence is plain hunt, -14-14).<br>
<br>
Now let Dp(r) be the minimum length if no bell is allowed to make 3 or <br>
more consecutive blows in the same place.  So for example<br>
Dp(2314)=3 (which is larger than D(2314)=2)<br>
(34.14 is not allowed because 4 makes 3 blows in 4ths, but we can do <br>
12-14 instead).<br>
<br>
Also let Dt(r) be the minimum length if the sequence of rows must be <br>
true, i.e. no row is allowed to be repeated.<br>
<br>
Finally let Dpt(r) be the minimum length if it must be true AND have no <br>
long places.<br>
<br>
Obviously for every row r,<br>
D(r)<=Dp(r)<=Dpt(r) and<br>
D(r)<=Dt(t)<=Dpt(r)<br>
<br>
In fact it is easy to prove that for every row r<br>
D(r)=Dt(r):<br>
if some minimum length sequence is not true, we can just omit the rows <br>
between two identical rows to get a shorter sequence, a contradiction.<br>
<br>
We saw above that for some rows r (e.g. 2314)<br>
D(r)<Dp(r)<br>
and because both sequences are true, this same example also has<br>
Dt(r)<Dpt(r).<br>
<br>
My question is:<br>
Does Dp(r)=Dpt(r) hold for every r?<br>
Or is there a row r for which Dp(r)<Dpt(r)?<br>
In other words, if forbid long places, is there a row that you can get <br>
to quicker if you allow falseness than if you don't?<br>
<br>
_______________________________________________<br>
ringing-theory mailing list<br>
<a href="mailto:ringing-theory@bellringers.org" target="_blank">ringing-theory@bellringers.org</a><br>
<a href="https://bellringers.org/listinfo/ringing-theory" rel="noreferrer" target="_blank">https://bellringers.org/listinfo/ringing-theory</a><br>
</blockquote></div>