<tt><span style=" font-size:10pt">> From: "Andrew Rawlinson">
<br>
> Does anyone happen to know of a proof of the minimum number of sixes<br>
> to rounds from any given position in Stedman on each stage? I've <br>
> heard a few figures being rumoured and am curious if anyone knows
of<br>
> a conclusive proof.</span></tt>
<br><tt><span style=" font-size:10pt">> <br>
> Best, </span></tt>
<br><tt><span style=" font-size:10pt">> <br>
> Andrew<br>
It's been asked before, but no proof other than exhaustive search. Philip
Saddleton answered it, the original web page has gone, and I can't find
the original question in the Change-ringers archive, so I am adding it
here.</span></tt>
<br><a href=https://web.archive.org/web/20080513173948/http://myweb.tiscali.co.uk/saddleton/stedman/turn.htm><tt><span style=" font-size:10pt;color:blue">https://web.archive.org/web/20080513173948/http://myweb.tiscali.co.uk/saddleton/stedman/turn.htm</span></tt></a>
<br>
<br><span style=" font-size:24pt"><b>Stedman Turning Courses</b></span>
<br><span style=" font-size:12pt">Simon Linford posed the following question
on the Change-Ringers' mailing list: </span>
<br><span style=" font-size:12pt"><i>Which row is furthest from rounds
using conventional Stedman Cinques as the method (principle) for getting
to that row? Put a different way, if asked to compose a touch of Stedman
Cinques that would contain a specific row, which such row would cause the
touch to be the longest?</i> </span>
<br><span style=" font-size:12pt">I and others had speculated about a related
question before, i.e. what is the maximum length required to call round
a touch of Stedman Caters or Cinques from a given, random point. The general
consensus was that it ought to be between one and two courses. </span>
<br><span style=" font-size:12pt">After a bit of thought I decided that
the solution ought to be within the scope of a reasonably powerful PC.
This is what I came up with a week or so after Simon's challenge: </span>
<ul>
<li><span style=" font-size:12pt">First construct a table giving the minimum
number of changes required to reach each quick six-end. We can start this
off by putting T(rounds) = 0, T(132547698E) = 1, etc. Fill in all the results
up to 11 changes manually - a total of 6 + 6 x 3 = 24, since there are
three possible calls at the slow six-end.</span>
<li><span style=" font-size:12pt">Next, for any entry already filled, calculate
the seven possible rows that can be reached after a further two sixes (--
and ss give the same result, as do -s and s-). If this entry does not already
contain a lower number, enter the previous value + 12. This process took
about half an hour on a 233 MHz PII with 64 Mb RAM. I wouldn't recommend
trying it with less memory. (It was 6 hours on my 32 Mb machine.)</span>
<li><span style=" font-size:12pt">The highest value in the completed table
was 159, for 4321967E805. Working backwards, we see that starting from
the fourth row of a quick six, we need 156 changes to go from 23491768E50
to rounds, or from rounds to 512307684E9</span>
<li><span style=" font-size:12pt">To solve Simon's problem, consider each
row in turn, and how it can occur at the end of a touch, i.e. six positions
in a quick six, and six each in the following six after each of the three
calls. For each in turn work out what that quick six-end would be and look
up the number of changes to reach it. Adjust for the difference between
the six-end and the point where the row occurs and take the lowest in each
case.</span></ul><span style=" font-size:12pt">The solution: </span>
<br><tt><span style=" font-size:12pt">Three pairs of rows require 130 changes:<br>
<br>
E0714852639<br>
48057936E21<br>
<br>
E0971485236<br>
59068E47321<br>
<br>
E0798634512<br>
0E789635421</span></tt>
<br><span style=" font-size:12pt">The results for Triples and Caters are
more memorable rows: </span>
<br><tt><span style=" font-size:12pt">53 to<br>
3216547<br>
1326547<br>
<br>
84 to<br>
123765498</span></tt>
<br><span style=" font-size:12pt">However, this is not just an academic
exercise. By using a slightly different table it is possible to construct
the shortest touch between any two six-ends, and so generate useful turning
courses or short touches containing given rows. The difference is that
rounds is the only seeding row, and the table then gives the number of
rows to get from rounds at a quick six-end to any other quick six-end.
Since this is always a multiple of 12, dividing through by 12 we can fit
the length into four bits (I hope - I haven't actually checked that none
needs more than 30 sixes), and so half the storage required by the table.
</span>
<br><span style=" font-size:12pt">The required calling can be reconstructed
by working backwards: look up each of the seven possible previous quick
six-ends in the table and find which one has a value of one less. If the
touch is required to start or finish at a slow six-end, work out the touches
for the three possible following or preceding quick six-ends respectively,
and see which is the shortest.</span>
<br>
<br><tt><span style=" font-size:10pt">--</span></tt>
<br><tt><span style=" font-size:10pt">Andrew Johnson</span></tt>
<br><tt><span style=" font-size:10pt">Twyford</span></tt>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br>
<br><span style=" font-size:10pt;font-family:sans-serif"><br>
Unless stated otherwise above:<br>
IBM United Kingdom Limited - Registered in England and Wales with number
741598. <br>
Registered office: PO Box 41, North Harbour, Portsmouth, Hampshire PO6
3AU<br>
</span>